北京大学金融时间序列分析讲义第24章： 向量自回归模型

24.1 VAR(1)模型

多个资产收益率的联合模型中最常用的是向量自回归
(Vector Autoregression, VAR)模型。
称k元时间序列rt服从一个一阶向量自回归模型，
即VAR(1)，若有

rt=ϕ0+Φrt−1+at(24.1)

其中ϕ0是k维常数向量，
Φ是k阶常数方阵，
{at}是序列不相关的弱平稳列，
Eat=0,
Var(at)=Σ>0(对称正定矩阵)。

文献中经常假定{at}服从多元正态分布
Nk(0,Σ)，
则这时at是独立同分布随机向量序列。

记at=(a1t,…,akt)T，
ϕ0=(ϕ10,…,ϕk0)T,
Φ=(ϕij)k×k。

24.2 模型结构和格兰杰因果性

考虑k=2的情形。
模型变成

{r1t=ϕ10+ϕ11r1,t−1+ϕ12r2,t−1+a1tr2t=ϕ20+ϕ21r1,t−1+ϕ22r2,t−1+a2t(24.2)

如果ϕ12=ϕ21=0,
则r1t和r2t两个序列是分离的：

r1t=r2t=ϕ10+ϕ11r1,t−1+a1tϕ20+ϕ22r2,t−1+a2t

这时两个序列分别服从单独的一元AR(1)模型；
如果a1t和a2t不相关，
则{r1t}序列与{r2s}序列不相关。
称这样的分离的序列为非耦合的。

如果ϕ12≠0, ϕ21≠0,
这时两个序列之间有相互反馈关系。

如果ϕ12=0, ϕ21≠0,
模型变成

{r1t=ϕ10+ϕ11r1,t−1+a1tr2t=ϕ20+ϕ21r1,t−1+ϕ22r2,t−1+a2t(24.3)

这时r1t不受到r2t的过去值的影响，
但r2t受到r1,t−1的过去值的影响。
可以将r1t作为输入变量，
r2t作为输出变量。

在统计学文献中，
如果a1t和a2t也不相关，
称式(24.3)的r1t和r2t
之间有传递函数(transfer function)关系。
传递函数模型是VARMA的一种特殊形式，
在控制工程中非常有用，
可以通过调整r1t的值来影响r2t。
在计量经济学文献中，
此模型意味着两个序列之间存在格兰杰因果关系，
r1t的过去值影响r2t，
但r2t的过去值不影响r1t。

(Granger 1969)提出了因果关系的概念，
适用于解释VAR模型的结果。
考虑一个二元序列rt=(r1t,r2t)T
的超前l步预测问题。
可以分别用VAR模型和每个分量的一元模型来进行预测。
如果r2t的二元预测比它的一元预测更准确，
则称r1t是r2t的格兰格原因，
这是因为r1t的信息提高了r2t的预测精度。
这里预测精度用预测的均方误差来度量。
当然，r2t也可以同时是r1t的格兰格原因。

令Ft表示截止到时刻t的可用信息，
即Ft包含{rt,rt−1,rt−2,…}。
令F−i,t表示Ft中去掉第i个分量的信息的集合。
考虑(24.2)的二元VAR(1)模型。
Ft包含{r1t,r2t,r1,t−1,r2,t−1,…},
F−1,t包含{r2t,r2,t−1,…}。
考虑基于Ft的超前l步预测，
其预测误差为

et(l)=(e1t(l),e2t(l))T=rt+l−E(rt+l|Ft)

其中对r2,t+l的预测误差为

e2t(l)=r2,t+l−E(r2,t+l|Ft)

考虑基于F−1,t对r2,t+l的预测，
其预测误差为

ẽ 2t(l)=r2,t+l−E(r2,t+l|F−1,t)=r2,t+l−E(r2,t+l|r2,t,r2,t−1,…)

如果

Ee22t(l)=Var(r2,t+l|Ft)<Eẽ 22t(l)=Var(r2,t+l|F−1,t)

即使用截止到t时刻为止的全部信息预测r2,t+l，
均方误差比不利用第一个分量序列的均方误差小，
则称r1t是r2t的格兰格原因。

回到二元VAR(1)模型(24.2)，
如果ϕ12=0而ϕ21≠0，
则r2,t+1依赖于r1,t，
预测r2,t+1时需要利用r1t的信息，
序列r1t是序列r2t的格兰格原因；
r1,t+1不依赖于r2,t，
预测r1,t+1就不需要用到r2t，
所以序列r2t不是序列r1t的格兰格原因。

事实上，对(24.3)，
不妨设{at}是独立的多元弱平稳列，
这时
E(at+1|Ft)=0,
E(a2,t+1|F−1,t)=0,
Var(a2,t+1|Ft)=Var(a2,t+1|F−1,t)=σ22，
又

E(r2,t+1|Ft)=Var(r2,t+1|Ft)==ϕ20+ϕ21r1,t+ϕ22r2,tE[(r2,t+1−E(r2,t+1|Ft))2|Ft]E(a22,t+1|Ft)=σ22

而

E(r2,t+1|F−1,t)=Var(r2,t+1|F−1,t)===ϕ20+ϕ21E(r1,t|F−1,t)+ϕ22r2,tE[(r2,t+1−E(r2,t+1|F−1,t))2|F−1,t]E[{ϕ21(r1,t−E(r1,t|F−1,t))+a2,t+1}2|F−1,t]ϕ221Var(r1,t|F−1,t)+σ22>σ22

即r1t是r2t的格兰格原因。

另一方面，

E(r1,t+1|Ft)=Var(r1,t+1|Ft)==E(r1,t+1|F−2,t)=Var(r1,t+1|F−2,t)==ϕ10+ϕ11r1,tE[(r1,t+1−E(r1,t+1|Ft))2|Ft]E(a21,t+1|Ft)=Var(a1,t+1)=σ11ϕ10+ϕ11r1,tE[(r1,t+1−E(r1,t+1|F−2,t))2|F−2,t]E(a21,t+1|F−2,t)=Var(a1,t+1)=σ11

所以r2t不是r1t的格兰格原因。

如果ϕ21=0而ϕ12≠0，
则序列r2t是序列r1t的格兰格原因，
而序列r1t不是序列r2t的格兰格原因。

如果新息at=(a1t,a2t)T的协方差阵Σ不是对角阵，
则r1t和r2t之间存在同步相关性，
这时两个序列存在即期（同期，瞬时）格兰格因果关系，
这种即期因果关系是双向的。

注意，
这样定义的格兰格因果性依赖于VAR(1)模型(24.1)这样的模型形式（称为简化形式），
如果改变模型的形式（比如改为下面的结构形式），
可能就不会在ϕ12和ϕ21这样的简单数值上反映出格兰格因果性。

更多分量的VAR(1)可以有更灵活的格兰格因果关系。
比如三元的模型，
如果Φ是下三角阵:

⎛⎝⎜⎜ϕ11ϕ21ϕ31ϕ22ϕ32ϕ33⎞⎠⎟⎟

则：

• r2t和r3t都不是r1t的格兰格原因；
• r1t是r2t的格兰格原因，
  但r3t不是r2t的格兰格原因；
• r1t和r2t都是r3t的格兰格原因。

如果Φ有其他稀疏形式，
关系可能多种多样。

24.3 VAR的简化形式和结构形式

式(24.1)的系数矩阵Φ
度量了rt的动态相依性，
r1t与r2t之间的同步相依性可以通过
at的协方差阵Σ的非对角元素
σ12来反映。
如果σ12=0，
则两个分量r1t和r2t之间没有同步线性关系。
在计量经济文献中式(24.1)中的VAR(1)
模型称为简化形式(reduced form)的模型，
因为该模型没有清楚地表现出分量序列之间的同步线性相依性。

可以利用矩阵变换对(24.1)进行变换，
得到显式地表现同步关系的模型。
对Σ>0(正定)，
存在Cholesky分解
Σ=LGLT,
其中G是对角线元素都为正数的k阶对角方阵，
L为对角线元素都等于1的下三角阵，
定义

bt=L−1at=(b1t,…,bkt)T

则

Ebt=Var(bt)=0L−1Var(at)L−T=G

其中L−T=(LT)−1=(L−1)T。
上式表明bt的各分量不相关。
将式(24.1)两边同时左乘L−1，
得

L−1rt==L−1ϕ0+L−1Φrt−1+L−1atϕ∗0+Φ∗rt−1+bt(24.4)

记ϕ∗0=(ϕ∗10,…,ϕ∗k0)T,
Φ∗=(ϕ∗ij)k×k，
设L−1的最后一行为
(wk1,…,wk,k−1,1)，
则模型(24.4)的最后一个方程（第k个方程）为

rkt+∑i=1k−1wkirit=ϕ∗k0+∑i=1kϕ∗kiri,t−1+bkt(24.5)

对i<k，
因为bkt与bki不相关，
所以式(24.5)明确表示了
rkt对rit的同步依赖性。
在计量经济文献中式(24.5)称为rkt
的一个结构方程(structural form)。

对rt的任何其它分量rjt(j<k)，
可以对VAR模型各个方程的次序进行重排，
比如，
将第j个方程与第k个方程对换位置，
再用前面的方法得到关于rjt的结构方程。
因此，
式(24.1)的简化形式等价于式(24.5)的结构形式。

在时间序列分析中通常使用简化形式，因为

• 简化形式更容易估计；
• 在预测时，同步形式无法使用。

例2.1

为了说明从简化形式到结构方程的变换，
考虑如下的二元VAR(1)模型：

(r1tr2t)=Var(at)=(0.20.4)+(0.2−0.60.31.1)(r1,t−1r2,t−1)+(a1ta2t)Σ=(2111)

对Σ作Cholesky分解得
Σ=LGLT,
其中

G=(2000.5)L−1=(1−0.501)

在简化形式的VAR(1)模型两边同时左乘L−1，
得

(1−0.501)(r1tr2t)=Var(bt)=(0.20.3)+(0.2−0.70.30.95)(r1,t−1r2,t−1)+(b1tb2t)G=(2000.5)

其中第二个方程为

r2t=0.3+0.5r1t−0.7r1,t−1+0.95r2,t−1+b2t

此方程明确表现了r2t对r1t的同步依赖（系数+0.5），
方程中也有r2t对r1,t−1的交叉依赖，
对r2,t−1的自身依赖。