夏普的算术和风险问题假设

在沃比冈湖，女人个个强壮，男人个个英俊，孩子个个都中等以上。

——加里森·凯勒

1991 年，威廉·夏普 (William Sharpe) 在一篇题为“主动投资的算术”的三页文章中提出了迄今为止关于市值加权指数投资的最有力论据：

如果以合理的方式定义“主动”和“被动”管理风格，那么情况一定是这样的：

(1) 扣除成本之前，主动管理美元的平均回报将等于被动管理美元的平均回报，并且

(2) 扣除成本后，主动管理美元的平均回报率将低于被动管理美元的平均回报率

这些断言将在任何时间段内成立。而且，它们仅依赖于加法、减法、乘法和除法的定律。不需要其他任何东西。

这个想法的关键在于，如果我们将所有非市值加权投资组合加在一起成为一个大投资组合，它必须与市值加权投资组合相同，即“市场投资组合”。虽然夏普算术的实际意义一直存在争议，但其逻辑已被广泛接受，许多人将其视为过去三十年来指数投资大幅增长的主要驱动力之一。²

夏普的开创性论文对选股行业造成了沉重打击。也许他觉得他的论点足以让投资者重新思考他们在选股上的立场——但无论他的理由是什么，他都没有为他的“主动管理算术”提出一个推论，这同样是一种强有力的控诉。

推论需要比他的主要论点更多的解释，但它几乎同样简单，并且基于他 1991 年论文中提出的相同基本见解，即所有主动投资组合汇总为市场投资组合：

(1) 所有主动管理的股票投资组合的平均风险将大于市场投资组合的风险，并且

(2) 在考虑费用和交易成本之前，所有主动投资组合的平均风险调整超额收益将小于市场投资组合的风险调整超额收益

我们可以看到为什么所有主动投资组合的平均风险大于市场投资组合的风险，因为每个主动投资组合都可以表示为持有市场投资组合加上所有成分中的多头和空头的“主动敞口”投资组合，使得市场投资组合加上主动敞口投资组合等于给定的主动投资组合。此外，每个主动投资组合都要求有人持有具有相反主动敞口的主动投资组合，我们将其称为镜像投资组合。

任何活跃投资组合及其镜像的平均风险将大于市场投资组合的风险。了解原因的关键是注意到两个主动敞口投资组合具有相同的风险，但它们与市场投资组合的相关性将具有相反的迹象。因此，当投资组合一起平均时，相关项将相互抵消，只留下来自主动敞口的额外跟踪风险，作为市场投资组合风险的补充。由于这适用于任何主动投资组合，因此对任意数量的主动投资组合进行平均得出的结果是所有主动投资组合的平均风险必须大于市场投资组合的风险。

一点代数告诉我们，任意主动投资组合的风险平均值和镜像主动投资组合的风险必须大于市场投资组合的风险：³

主动投资组合的风险 = σm² + σa² + 2ρσmσa

镜像投资组合的风险 = σm² + σa² – 2ρσmσa

市场投资组合的风险 = σm²

½((σ_m² + σ_a ² + 2ρσ_mσ _a) + (σ_m² + σ< a i=14>a² – 2ρσ_mσ _a)) >σ_m^{2< /span>}

σ_m² + σ_a²_m > σ²

σ_a² > 0

其中σ_m是市场投资组合回报的标准差，σ_a 为主动敞口（即跟踪风险）投资组合收益的标准差，ρ是市场投资组合的回报与主动敞口投资组合的回报之间的相关性。

我们不能轻易地说主动投资组合的平均风险与市场投资组合的风险相比会高出多少，因为这取决于每个主动投资组合的集中度。然而，我们可以通过考虑随机构建的持有不同数量股票的投资组合来了解其规模，这样所有投资组合总的来说等于市场投资组合。

在下表中，我们将市场投资组合的风险与随机构建的 5、25 和 100 只股票的投资组合的平均风险进行比较，选择这些股票的目的是使它们的聚合尽可能接近市场投资组合。< /span> 。这是因为 1) 个股的许多特殊风险是相互关联的（例如，通过处于同一行业部门或共享因子敞口），以及 2) 不均匀的市值权重导致投资组合比普通股票更加集中。来自每只股票具有相同权重的投资组合。¹_{N 下降而天真估计的风险更高} 只股票组成的活跃投资组合的风险比假设投资组合特殊风险随 √N 这些集中投资组合的风险比市场投资组合高出 4% 到 30%（参见最右栏）。这些由 ⁴

如果像 20 世纪 60 年代的情况一样，个人经纪账户中的股票数量中位数仅为两只，那么这些高度集中的投资组合的平均风险将是市场投资组合的 1.5 倍。 2005 年的一项最新研究表明，流动资产超过 1 毫米的股票投资者平均直接持有 15 只股票。⁵

我们可以采取的另一个观点是将过去 10 年一组非市值加权 ETF 和共同基金的平均风险与标准普尔 500 指数的风险进行比较。尽管这些主动管理型基金每只持有约 200 只股票，但其平均风险比相关市场投资组合的风险高出 7%。特别值得一提的是，Vanguard 的成长型基金和价值型基金（每支基金都拥有 200 多只股票，并且代表彼此的镜像主动投资组合）的平均风险比标准普尔 500 指数高 7%。

您可能会说，如果典型的主动管理投资组合的风险比市场投资组合的风险高 10%，那又有什么大不了的呢？好吧，我们认为这是一件大事！假设它包含投资组合的大部分风险部分，那么活跃投资组合和市值指数投资组合之间不存在差异，您会希望它们具有相同的夏普比率。这意味着主动投资组合的预期回报（扣除超出安全资产的费用）需要比市场投资组合高出 10%。例如，如果您认为市场投资组合提供的回报超过安全资产 4%，那么主动投资组合将需要提供多 0.4% 或 4.4% 的超额回报，才能在风险方面具有同样的吸引力-调整后的基础。⁶

多年来，投资者和评论员一直对美国主动管理股票共同基金和美国股票指数基金平均费用率每年约 0.6% 的差异感到遗憾。⁷ 我们认为，他们应该同样担心（如果不是更严重的话）持有集中投资组合所带来的额外风险成本。主动管理的风险成本很容易与长期以来引起投资者关注的额外费用一样大，或者在极端集中的情况下，相形见绌。

结论

Vanguard 创始人 John Bogle 深受夏普算术的影响，他将其发展为“成本问题假说”(CMH)，并在 14 年前发表夏普算术的同一期刊上提出：⁸

金融市场的总回报减去金融中介成本等于实际交付给投资者的净回报……然而，为了解释投资者在寻求击败市场时所面临的可怕可能性，我们不需要 EMH（有效市场假说） ）；我们只需要 CMH [成本问题假设]。无论市场效率如何，投资者作为一个整体所获得的回报必须低于市场回报，其差额恰好等于他们所产生的总成本的数额。这是投资的核心事实。

秉承已故伟大的约翰·博格尔的精神，我们想提出“风险问题假设”（RMH），作为 EMH 和 CMH 的补充，以警告投资者通过选股增加价值所面临的挑战：

在考虑费用和交易成本之前，所有主动投资组合的平均风险调整超额回报将低于市场投资组合的风险调整超额回报。

正如我们在书中更详细讨论的那样，失踪的亿万富翁：更好的财务决策指南，投资者很自然地应该并且确实要求承担风险补偿。然而，我们常常在投资决策中没有充分考虑到这一点。

如果没有与主动管理相关的额外费用、税收或其他货币成本，夏普 1991 年的论点可能不会像事实证明的那样有影响力。自从夏普提出他的算术以来，在过去的 30 年里，主动股票经理收取的费用急剧下降，零售股票交易的佣金已降至零，股票的内部买卖价差也有所缩小。总而言之，这些都降低了——但并没有消除——夏普最初论点的重要性。

但是，根据本说明中描述的夏普算法的风险推论，即使不涉及额外费用，活跃投资者也会参与负和活动。⁹ 逻辑表明，投资者无法从总体上因为拥有集中的股票投资组合而承担的额外风险而获得回报。

利用夏普的富有洞察力的观察，即所有活跃投资者的投资组合必须等于市场投资组合，并将其应用于风险维度，他最初的警告仍然正确，即活跃股票投资者总体上需要克服额外回报的实质性门槛，才能提高投资回报率。他们的福利。

维克多·哈加尼 (Victor Haghani) 是该公司的创始人和创始人。首席信息官兼詹姆斯·怀特 (James White) 是费城资产管理公司 Elm Wealth 的首席执行官。弗拉基米尔·拉古林 (Vladimir Ragulin) 是一位驻伦敦的投资和风险顾问。

进一步阅读和参考文献

• 空气质量报告。 （2012）。 “为什么大多数投资者选择集中度而不是杠杆？”另类思维 2012 年第二季度。
• Black, F. 1986。“噪音”。 金融杂志 41, 529–543。
• Bogle, J. 2005。“卑微算术的无情规则。” 金融分析师杂志 61 (6), 22-35。
• Bogle, J. 2014。“‘全面’投资费用的算术。” 金融分析师期刊 70 (1), 1-9。
• Campbell, J. 2018。财务决策与市场：资产定价课程。普林斯顿大学出版社。
• Chen, H.、Noronha, G. 和 Singal, V. 2006 年。“指数变化和指数基金投资者的损失”。 金融分析师杂志 62 (4), 31–47。
• Dick-Nielsen, J. 2012。“公司债券中指数驱动的价格压力。”工作文件，哥本哈根商学院。
• Haghani, V. 和 White, J. 2023。失踪的亿万富翁；更好的财务决策指南。 Wiley。
• Malkiel, B. 2023。华尔街随机漫步。 W. W. Norton &公司。
• Merton, R. 1969。“不确定性下的终身投资组合选择：连续时间案例。” 经济学与统计学评论< /span> 51 (3), 247–57。
• Pedersen, L. 2018。“提高主动管理的算法。” 金融分析师杂志 74 (1), 21-36。
• Sharpe, William F. 1991。“主动管理的算术”。 金融分析师杂志 47 (1), 7–9。
• RF 斯坦博。 2014 年。“总统讲话：投资噪音与趋势”。 《金融杂志》 69, 1415-1453。< /span>

忽略一些可能的、尽管难以观察或严重权衡的风险转移论点。

^1.这不是投资要约或招揽。过去的回报并不代表未来的表现。
我们感谢 John Campbell、Jeffrey Rosenbluth 和 Mark Grinblatt 的帮助和鼓励。所有错误都是我们自己造成的。

^2. 有关夏普算术可能不是一个好的现实模型的讨论，请参阅 Pedersen (2018)、Chen 等人。 (2006) 或 Dick-Nielsen (2012) 分析债券指数基金的摩擦。

^3. 我们认识到这是非正式的规定。我们希望稍后能以更严格的处理方式来讨论这个问题，包括所有需要的假设。本着同样的精神，这个结果也适用于回报的平均标准差，对于 -1 < ρ＜ 1，但数学并不像平均方差那样简洁。

^4。 我们使用过去 10 年的每周回报数据以及彭博 500 美国股票指数的当前权重。我们模拟的投资者投资组合持有具有市值权重的股票，这与假设权重相等的多元化收益的标准计算不同，例如马尔基尔（2023）。一旦选择了股票，我们就会按照与其市值成比例的权重将其纳入其中。这是因为，采用等权重方法时，通过汇总超过 15 只股票的等权重投资组合，总持仓量不可能与 AAPL 等大型股的市场权重相匹配，因为即使每个集中投资组合持有 AAPL （事实并非如此），将它们加在一起仅得出聚合投资组合的 6.7% AAPL 权重 ( = 1/15) – 低于实际值7% 重量。通过我们的方法，投资者在大型股中持有更大的头寸，因此需要更多的股票来实现与标准等权重方法相同的风险降低。

^5。 斯坦博 (2014)。

^6. 您可能还会问，如果您不期望主动管理的投资组合获得更高的回报，夏普比率 10% 的差异有什么大不了的？答案是，夏普比率降低 10% 会导致风险调整回报率降低 20%，正如我们在失踪的亿万富翁第 5 章中所述，第 59 页。

^7。平均股票和债券共同基金费用比率继续下降（2022 年）。< /span>

^8. Bogle, J. 2015。“卑微算术的无情规则。” 金融分析师杂志，61 (6), 22-35。

^9. 忽略一些可能的、尽管难以观察或严重权衡的风险转移论点。