这是一个由五部分组成的系列的第二部分，该系列为长期、退休导向的投资开发了一个分析框架。您可以在此处阅读第 1 部分。作者要感谢 Joe Tomlinson 和 Michael Finke 对本系列文章提供的有益评论。
介绍
正如我在本系列的第 1 部分中指出的那样，有关股票收益的常见格言和假设真理通常意味着风险在长期内消失。（例如，“你将有时间让股市复苏”或“你押注于经济，从长远来看，这总是会赢的。”）
但对于那些深入研究这个概念的人来说，长期股票风险的存在并不是特别有争议。例如，《股票长期运行》一书的杰里米·西格尔（Jeremy Siegel）在该书的一章中说过这样的话，他在其中最积极地论证了股票风险出乎意料地低，并且在长期范围内股票比债券更好：
请注意，我并不是说股票投资组合的风险会随着时间期限的延长而下降。股票总回报率的标准差随着时间的推移而增加，但其速度递减。1
在也许是最著名的支持长期股票投资的论文中，作者并没有声称股票风险会在长期内消失，甚至也没有说它会减少，而只是说它以意想不到的缓慢速度增长！难怪在西格尔和兹维·博迪之间的著名辩论中，真正的分歧有点难以发现。
市场认为市场有风险
说到博迪，他的文章《论长期股票的风险》使用期权来证明股票风险随着时间的推移而增加。严格来说，他证明的是，购买针对表现不佳的无风险利率股票的保护的前期成本随着时间范围的增加而增加。
为了证明这一点，博迪使用看跌期权平价来表明，为防止低于无风险利率的短缺而提供保险的看跌期权的价格必须等于获取高于无风险利率的所有股票收益的看涨期权的价格。2无论到期时间长短，都是如此。事实上，看涨期权随着时间范围的延长而变得更加昂贵——相当直观地反映了股票大幅跑赢大盘的可能性越来越大——而看跌期权也同样变得更加昂贵——不太直观地反映了最坏情况下潜在短缺的日益严重程度设想。
看跌期权平价本身只是一价定律（LOOP）的一个例子，该定律规定，未来具有相同收益的两种资产或投资组合今天的价格必须相同。这与假设随机游走（博迪特别指出均值回归不会影响他的论点）或更广泛意义上的“有效市场”相去甚远，即始终对未来风险和回报进行适当定价的市场。相反，LOOP 是一个理性、运转的市场最基本的要求之一。
为了用数字证明他的观点，博迪使用布莱克-斯科尔斯公式来说明看跌期权价格随着期限的增加而上涨。这导致一些观察家得出结论，他的结果取决于布莱克-斯科尔斯，但事实并非如此。博迪指出，只需要“无套利”原则（即市场不会留下无风险的即时利润供任何人获取）就可以说明这一点。3
事实上，我第一次了解到这种推理思路是在罗伯特·C·默顿（Robert C. Merton）教授的哈佛商学院课程中，他因开发布莱克-斯科尔斯公式而获得了诺贝尔奖。4他煞费苦心地指出，既不需要布莱克-斯科尔斯，也不需要任何复杂的假设来证明博迪的观点，而只需要循环。
对于拥有税收优惠账户或较低税级的投资者来说，税收可能会进一步改变循环论点。以市政债券为例，它的风险高于国债，但预期回报（税前）通常较低。市政债券的税收优惠性质促使高税率的投资者将其价格抬高到这些水平，因为他们的税后回报仍将是相对有利的。但没有这些税务考虑的投资者最好避免市政债券。同样，股票的税收待遇通常比债券更优惠，这可能会诱使厌恶税收的投资者将股票价格推高至高于博迪循环分析（忽略税收）所建议的水平。与市政债券不同，这种效应肯定不足以压倒预期中的股票风险溢价；但对于那些税收考虑不太重要的投资者来说，这种效应将降低股票表现优异的可能性，并减少在任何时期对股票的最优配置。
快速点击：长期股票风险的其他理论论据
对于那些有兴趣进一步挖掘长期股票风险的理论依据的人来说，这里有一个额外文献的短暂浏览。
现代金融教父之一保罗·萨缪尔森在《风险与不确定性：大数谬误》一书中解构了这一论点，该论点源于观察，即如果你进行对自己有利的多次押注（例如，多年的股票风险）您获胜的总体几率会变大。这是一个谬论，因为您可能损失的金额也会变大。当“赌注”由连续多年的投资组成时，较长的系列也会消耗一个人一生的更大比例，从而进一步提高赌注。
在“从长远来看，股票的风险有多大？” ” 6在Advisor Perspectives中，Michael Edesess 优雅地阐释了假设均值回归在足够长的时间范围内始终能够发挥作用的问题。（埃德塞斯断言，兹维·博迪的论点假设布朗运动，但博迪的文章澄清说，即使股票均值回归，他的主要推理也成立。）
等份理论和定量分析，“长期股票？来自发达市场广泛样本的证据” 7，作者：Aizhan Anarkulova等人。，利用针对广泛的国际股票回报数据集的引导重采样程序来估计，在 30 年股权投资期限内遭受实际回报损失的可能性超过 12%。Samuelson 在他的文章“ Dogma of the Day ”中首次提出了引导程序，8和 Anarkulova等人。通过技术改进了这一概念，使该过程对于均值回归、经济周期和各种潜在数据偏差的存在相对稳健。
在“关于长期股票风险的一厢情愿的想法”中，9 Zvi Bodie 对他之前的文章进行了澄清重述，解决了各种出版物中出现的谬论，并指出了对各种投资政策的影响。他还指出，现实反映了理论，即平值远期看跌期权价格确实随着期限的推移而增加。
最后，如果没有我最喜欢的保罗·萨缪尔森 (Paul Samuelson) 的名言，任何一次旅行都是不完整的：“当一个 35 岁的人在 1929 年至 1932 年间损失了 82% 的养老金投资组合时，你是否认为这是上天注定的，他会回来，然后再回来。”到 65 岁退休时，他的成果会增加 400% 吗？” 10
这里有一个重要的一般观点：如果我们选择相信股票在一段时间内（例如 30 年）内变得无风险，那么如果它们在较短的时间范围内（例如 15 年）表现不佳，我们现在的时间范围就更短了（未来15 年），在此期间他们必须表现得更好，以弥补之前的不足。这是股票投资版的“赌徒谬误”。它还说明了理性均值回归之间的差异——较低的估值确实可能意味着股票的预期回报较高，很可能是对高风险的补偿！——而且不合理均值回归——其中先前的损失必须通过足够高的后续回报来完全补偿，以确保达到某种长期平均水平。
诚然，上述论点都依赖于基本市场理性的假设——尽管同样不依赖于成熟的市场效率之类的东西。但对于任何认为这一事实存在潜在的逃避条款（即行为异常可能解释长期股票风险消失的原因）的人，我会提出以下警告：你不仅必须因此相信市场效率如此之低，以至于有效地创造了两个无风险利率（长期国债利率以及股市肯定会达到的任何更高利率11），但你还必须相信这种非理性是单向的，因此低效率的市场只会决定股票的价格太低。12
定量分析
好吧，也许理论说股票从长远来看不可能是无风险的，但证据难道不表明它们是无风险的吗？当然，“长期股票”的案例始终是根据历史数据得出的。毕竟，举个例子，自 1926 年标准普尔 500 指数总回报率数据出现以来，该指数最差的 20 年名义回报率和通胀调整后回报率分别为 +3.1% 和 +0.8% 年化。最差的 30 年名义回报率和实际回报率年化分别为 +8.5% 和 +4.4%。这些结果似乎与博迪之流的警告相去甚远。
这里的一个主要问题是缺乏独立的长期数据。例如，标准普尔 500 指数的总回报历史仅包含三个独立的 30 年周期……太少了，不具有统计意义。即使是西格尔从 1802 年开始使用的数据集也仅足以产生 7 个独立的 30 年观察结果。13
这个问题可能比看上去更严重。正如我在上面反复指出的，在任何股票回报模型中，短缺的可能性都会随着范围的增加而下降，但最严重的短缺的程度会变得更大。因此，随着期限的增加，股票风险越来越像“尾部风险”。14这意味着，随着时间范围的增长，所需的独立数据量会增加——即确定负异常事件发生的频率是否低于应有的频率——但可用的独立数据量会减少。
纳入国际数据可以扩大可用数据集。但这引入了一些发人深省的例子，例如日本，一个全球经济强国，其股市在 30 多年的时间里一直低于 1989 年的峰值，或者奥地利，其股市自 1900 年以来年化实际回报率仅为 0.9% ！即便如此，考虑到各国股票市场对上个世纪引人注目的全球经济发展的（相互）依赖性，纳入更多国家可以增加多少独立价值仍存在争议。
蒙特卡罗式统计检验
鉴于可用的“长期”数据很少，我们通常只能使用重叠的历史数据，例如每年开始的 20 年或 30 年回报系列。统计技术可以对重叠数据进行假设检验，但让我痛苦的是，我意识到我的相关数学训练发生在我大半辈子之前。但随后的几十年也产生了计算能力令人难以置信的爆炸式增长，从而实现了另一种类型的统计测试：蒙特卡洛分析。
接下来，我从标准普尔 500 指数 97 年的历史总回报数据系列开始，并提出这样的问题：“如果股票遵循 IID 随机游走，这些结果的可能性有多大？ ”
这并不是说我相信股票确实遵循布朗运动；而是说我相信股票确实遵循布朗运动。动量、均值回归和“厚尾”分布的证据是强大的。15但是，如果不能可靠地将产生长期股票安全性信念的历史证据与不能提供这种安全性的随机游走的结果区分开来，那么我们希望理论上行不通的东西可能仍然行得通。实际操作中肯定会减少。
为此，下面是标准普尔 500 指数历史数据与从正态分布中抽取的 10,000 个 97 年试验的随机游走模拟的比较，平均值等于标准普尔的算术平均年回报率，标准差等于标准普尔的历史波动率。
一年期结果证实，所有 970,000 项独立年度试验的平均回报和标准差与标准普尔相符，正如预期的那样。我还包括了下行风险的衡量标准，“下行半偏差”（有时简称为“下行偏差”），目标回报率为 0%。
随后的表格将历史记录与重叠 5 年、10 年、20 年和 30 年期间的 10,000 次 97 年随机游走的平均值进行比较。
下表显示了相同的概念，但具有通货膨胀调整后的“实际”回报。因为它重申了购买力等值的所有计算，所以这个版本的分析可以说是更优越的。
有两点需要注意。年化多年回报率（即复合年增长率/CAGR）低于单年算术平均回报率；这是方差耗尽的预期结果。
其次，随着时间范围的增加，实时数据和试验数据的平均年化标准差都会下降。我们如何将这一点与西格尔上面的“风险随时间推移而增加”的说法相一致？简而言之，正如西格尔在其书的前一页所解释的那样，随机游走中回报的年化波动率以时间的平方根下降。但最终财富总额的波动性随着时间的平方根而增加。16西格尔和博迪都认为总财富的方差是更好的风险衡量标准，我也同意。但在这样的同类比较中，年化数据可能更容易使用。
从上面的数字我们观察到什么？正如西格尔所说，实时标准普尔数据中回报率的年化波动率比模拟中的平均波动率下降得更快。股票的风险确实低于预期！
下行风险看起来更好。事实上，在20年和30年的重叠数据中，从未出现过名义或实际回报为负的情况。
但实际结果到底有多不可能呢？为了帮助回答这个问题，我们可以计算 10,000 次模拟中有多少次产生的结果与实时数据“一样好”或“优于”（即相同/更高的回报或相同/更低的风险）。名义数据和实际数据的结果如下表所示。
在大多数指标上，标准普尔的结果甚至不会是一西格玛异常值。例如，当观察到所有随机试验分别有近一半和四分之三产生相同结果时，20 年或 30 年范围内没有出现负实际回报似乎就不那么令人印象深刻了。
事实上，似乎没有一个低于预期的风险数字能够通过 1% 的测试来拒绝它们来自随机游走的假设。只有一个数据点可以通过不太严格的 5% 测试，不过值得西格尔赞扬的是，该数据点是重叠 30 年名义回报率的标准差。但是，当我们消除实时数据中随时间变化的通货膨胀引入的噪声时（即，通过切换到真实数据），即使是 30 年平均标准差也比随机试验中的近 8% 更好。
同样，这些分析都没有旨在证明标准普尔 500 指数回报确实是从 IID 随机游走中得出的。但无法拒绝这一假设，再加上不可忽视的长期股票风险的强有力的理论论据，表明无论风险承受能力如何，在采用“股票随着时间的推移肯定会跑赢大盘”的投资方法时都要非常谨慎。
如果预期回报不是那么高怎么办？
还有更多需要考虑的事情。上述计算源自随机游走，使用历史平均标准普尔回报率作为生成函数的平均值。但考虑到可能的长期结果的广泛分散，事后实现的回报极不可能等于事前的预期回报。如果市场实际上没有充分反映过去一个世纪企业盈利能力的爆炸性增长怎么办？
例如，假设事前算术平均预期实际回报率低 200 个基点，约为每年 6.9%。重新围绕该数字进行随机游走，我仍然发现，在所有 5 年、10 年、20 年和 30 年重叠的 97 年随机试验中，分别有 12%、19%、19% 和 17%平均年化回报率超过标准普尔 500 指数 97 年历史上所取得的回报。17 号
是不是特别难以相信“美国世纪”（大约从 1950 年开始）的发展与事前预期相比只有 5.5 分之一左右的异常值？这方面的潜在证据是标准普尔指数多年来的总市盈率从 11 倍扩张至 23 倍，这似乎表明利润增长预期上调，回报预期下调，或两者兼而有之。这也意味着，即使再过 97 年，经济增长率保持不变，企业盈利与 GDP 增长之间的关系保持不变，标准普尔市盈率倍数也必须扩大到 48 倍才能实现相同的总回报！
还有一件事：库存风险就是短缺风险
上述分析考虑了绝对名义回报和实际回报，下行半偏差指定“最低可接受回报”为 0%。但当投资能够在预先选定的期限内产生无风险的显着正回报时，这种做法就过于保守了。本系列的第 3 部分将深入分析这一点的含义。
例如，我们在第 1 部分中看到，投资于 Treasury STRIPS 的 1 美元保证在 30 年内价值约为 3.55 美元。股票可以避免亏损，但仍比可以确定获得的回报低 255%。18（这是博迪论点的核心。）同样，截至撰写本文时，30 年期 TIPS“恒定期限国债”(CMT) 利率为 2.08%，这意味着如果股票仅仅维持其购买力，它们将下跌约 86%可以在没有风险的情况下获得的通货膨胀调整后的回报。19
不幸的是，虽然我可以从免费来源中拼凑出 1 年期和 10 年期国债利率 97 年的历史，20 20 年期和 30 年期 CMT 利率的历史21仅足以产生 36 和 16重叠的20-和 30 年期。在这些有限的时间范围内，标准普尔指数在 20 年期间（从 2000 年开始，接近互联网时代的顶峰）只有一次表现低于无风险利率，但其表现却下降了 59%（年化 4.3%）。
也许付费来源可以提供更多数据，但虽然我花了大约 0.68 秒考虑了 25,000 美元的彭博许可证，但22 秒我决定放弃。此外，更严格的通胀调整历史分析是无望的，因为 TIPS 债券存在的时间还不够长，无法提供单一的 30 年观察。不过，可以说，虽然此类分析可能会产生与上述结果类似的结果，但它们可能表明需要更加谨慎。23（与此相关，迈克尔·芬克（Michael Finke）撰写的顾问观点文章“忘记你对股票回报的了解”非常值得一读。）
总结并继续
如果股票风险永远不会消失，而且从某些角度来看甚至随着时间的推移而增加，那么为什么还要购买股票呢？因为在最坏情况下，风险溢价（持有股票的额外预期总回报）会越来越大（就端到端回报而言），而且随着时间的延长，可能性也会越来越大。持有期。如果您有能力承担风险并有承受风险的能力，那么回报可能（但不确定）是非常值得的。
这确实可以被视为“押注经济”的回报。但如果经济增长（以及相关的盈利增长）确实是可预测的，那么充满信心的市场可能会在今天设定更高的价格，以获得明天更低、更安全的回报。
因此，更好的观点可能是：在所有时间范围内，股票的风险性创造了更高的预期回报。或者正如我喜欢的观点：股票总是有风险的，这是一件好事！始终存在的风险是存在更高预期回报的原因。回报是真实的！
但风险也是真实存在的。如果有人无法接受风险，或者希望锁定某些目标而不承担风险怎么办？低风险的替代方案是什么？本系列的第 3 部分将探讨这个问题，但这里有一个先睹为快的问题：如果某个目标存在于遥远的地平线（例如，30 多岁的人未来的退休收入），那么实现该目标的低风险选择无疑是不是现金、国库券或低期限债券！
作为圆桌投资策略公司的首席投资官，内森·杜兹曼 (Nathan Dutzmann) 负责将金融科学和投资研究应用到根据客户的个人需求和目标构建投资组合的过程中。Nathan 此前曾担任 Dimensional Fund Advisors 的投资策略师以及 Aspen Partners 的合伙人兼首席投资官。他拥有哈佛商学院 MBA 学位、科罗拉多矿业学院国际政治经济学硕士学位以及数学和计算机科学学士学位。
1 Jeremy Siegel，《长期股票》，第五版，麦格劳希尔教育，2014 年，第 99 页。
2其中无风险利率由水平匹配的零息国债定义。第 1 部分的读者可能会感觉到主题正在发展。
3仅看跌/看涨期权平价就足以说明为什么看跌期权和看涨期权价格必须相同。至于为什么价格会随着时间的推移而变大，这里有几种思考方式： 1. 期权的“时间价值”总是随着时间的推移而侵蚀；或者对于那些熟悉“希腊人”的人来说：theta 总是负值。2.看跌期权是投资组合保险，与所有形式的保险一样，您用负预期回报来换取购买的安全性；但负的预期回报意味着您从保险日期撤回的时间越长，预先需要的价格就越高。
4为什么叫“Black-Scholes”？因为这就是默顿在开发该公式作为费舍尔·布莱克和迈伦·斯科尔斯现有工作的延伸时所命名的公式。在哈佛大学和麻省理工学院的校园里，将著名的结果称为“布莱克-斯科尔斯-默顿公式”被认为更正确和礼貌。
就我个人而言，我第一次接触金融科学是一个“本科生研究经验”项目，在该项目中，我的团队开发了一种软件算法来寻找美式期权的布莱克-斯科尔斯微分不平等版本的解决方案。多年后，当我有幸见到默顿教授并向他学习时，这段经历极大地增强了我随后的热情。
5 Paul Samuelson，“风险和不确定性：大数谬误”，Scientia，98 [1963]：第 108-113 页。
6 Michael Edesss，“从长远来看，股票的风险有多大？”，Advisor Perspectives [2014]， https: //www.advisorperspectives.com/articles/2014/10/07/how-risky-are-stocks-in-从长远来看。
7 Aizhan Anarkulova 等人，“长期股票？来自发达市场广泛样本的证据”，巴黎 2020 年 12 月财务会议记录
8 Paul Samuelson，“当今的教条：长期投资，理论是正确的，风险就会降低”，《彭博个人理财杂志》[1997 年 1 月/2 月]
9 Zvi Bodie，“对长期股票风险的一厢情愿：固定缴款和固定福利退休计划的后果”，退休管理杂志，卷。10 第 1 期 [2021]：第 79-86 页。
10 Paul Samuelson，“股票的长期案例：以及如何超卖”，《投资组合管理杂志》，21，第 10 期。1，第 15-24 页 [1994 年秋季]
11这种“两种无风险利率”论点是 Zvi Bodie 单一价格论法则的非正式等价物。具体来说，如果 LOOP 成立，则平价远期看跌期权（因此也是看涨期权）价值为 0 美元的唯一情况是股票确实产生准确的无风险利率。
12行为经济学家引用的案例来说明市场效率低下（泡沫、迷因股票、具有相似股票代码的证券等）往往是价格被推向非理性高水平的例子，部分原因是“套利限制”：即市场摩擦这使得套利者相对难以将价格降至合理水平。换句话说，市场效率提供的下限比上限更好——这与股票风险在一段时间内消失所需的条件恰恰相反！
13此外，考虑到容易出现数据偏差和生存偏差的风险，早期数据的可信度也存在争议。
14 Geoff Considine 撰写的另一篇旧的 Advisor Perspectives 文章很好地解释了这个概念：https ://www.advisorperspectives.com/articles/2009/07/21/the-retirement-portfolio-showdown-jeremy-siegel-v-zvi -博迪
15这三种异常现象中的两种往往会增加风险。它们可能都是相关的，因为均值回归周期可以产生“高峰”，而趋势行为周期可以产生尖峰分布的“肥尾”。有关详细信息，请参阅这篇文章：https ://www.transtrend.com/en/insights/riding-kurtosis/
16参见。博迪[2020]，p。5.
17此外，在最近的数据中，接近标准普尔回报率的试验结果的波动性较低。例如，在 30 年数据中，那些平均回报率在标准普尔平均水平 1% 以内的试验的平均年化标准差低了整整一个百分点（2.7% vs. 3.7%）。换句话说，在事后回报高于预期的情况下，事后波动性更有可能低于预期。
18当然，除非美国国债也出现永久性违约。这是可能发生的事情。但我们不要自欺欺人：无论构建得多么完善，您的退休计划可能都无法承受这种可能性。我的意思是，无论发生什么，你自己都可能无法幸存。
这也是为什么本文没有提及某些国家股票市场历史上偶尔消失的情况（即-100%的回报率，没有复苏的希望）。尽管这显然是最大的股票风险，但在美国或全球市场背景下，它可能代表着无法对冲的风险。例如，保罗·萨缪尔森 (Paul Samuelson) 继续说道：“1913 年沙皇高管在巴黎左岸的退休生活过得如何？” 当然可以，但沙皇政府债券持有者的处境也好不到哪去！
19诚然，过去十年的大部分时间里，实际利率都处于显着的负值。本系列的第 3 部分将考虑这种意外事件的影响。
20来自圣路易斯联储 FRED 网站的自 1961 年以来的一年期和十年期 CMT 数据：https: //fred.stlouisfed.org/series/DGS1和https://fred.stlouisfed.org/series/DGS10，分别。Robert Schiller 教授的数据集之前一年和十年的近似数据：http://www.econ.yale.edu/~shiller/data.htm。
21分别为 https://fred.stlouisfed.org/series/DGS20和https://fred.stlouisfed.org/series/DGS30。
22 对于一个仿生人来说，这几乎是永恒的。
23这是绝对风险与短缺风险的另一个有趣的例子：ETF“TJUL”于 7 月推出，引起了一些关注。在两年的时间内，该 ETF 承诺实现标准普尔 500 指数前约 16% 的上涨（不包括股息），同时消除损失（即 0% 的下跌）。这听起来很神奇，直到人们意识到截至 TJUL 7 月 18 日推出之日的两年期国债利率为 4.74%，这意味着您可以获得 9.8% 的无风险两年期回报。当你将其重新定义为 6.2% 的上涨和 9.8% 的下跌时，16% 的上涨和 0% 的下跌听起来就不那么令人印象深刻了！（这甚至没有考虑到放弃市场股息收益率而带来的预期回报拖累。）
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